기초 미적분 예제

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$3^{y} + 2 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3^{y} + 2 = x$

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$3^{y} = x - 2$

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (3^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$ 의 각 항을 $\ln (3)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$ 의 각 항을 $\ln (3)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\ln (3)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ 가 $f (x) = 3^{x} + 2$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

$3^{x} + 2 - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

$3^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (3^{x})$ 을 전개합니다.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

$\ln (3)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

밑 변환 규칙 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 을 사용합니다.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

$x - 2 + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ 은 $f (x) = 3^{x} + 2$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$