기초 미적분 예제

$y = x^{2} - 1$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = y^{2} - 1$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$y^{2} - 1 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{2} - 1 = x$

단계 2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y^{2} = x + 1$

단계 2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{x + 1}$

단계 2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{x + 1}$

단계 2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{x + 1}$

단계 2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

단계 3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ 가 $f (x) = x^{2} - 1$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = x^{2} - 1$ 및 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 4.2

$f (x) = x^{2} - 1$ 의 범위를 구합니다.

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단계 4.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 1, \infty)$

단계 4.3

$\sqrt{x + 1}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x + 1}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x + 1 \geq 0$

단계 4.3.2

부등식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x \geq - 1$

단계 4.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[- 1, \infty)$

단계 4.4

$f (x) = x^{2} - 1$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4.5

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ 의 정의역이 $f (x) = x^{2} - 1$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ 의 치역이 $f (x) = x^{2} - 1$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ 은 $f (x) = x^{2} - 1$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

단계 5