기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $f (- x)$ 을 구합니다.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

단계 2.2.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- x) = 1 x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

단계 2.2.3

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

단계 2.2.4

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

단계 2.2.5

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- x) = x^{4} - 4 (- x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

단계 2.2.6

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

단계 2.2.7

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

단계 2.2.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 (1 x^{2})$

단계 2.2.9

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

단계 3

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

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단계 3.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 3.2

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ 이므로 이 함수는 우함수가 아닙니다.

이 함수는 우함수가 아님

단계 4

$f (- x) = - f (x)$ 인 경우 함수는 기함수입니다.

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단계 4.1

$- f (x)$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- f (x) = - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

단계 4.1.3

간단히 합니다.

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단계 4.1.3.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

단계 4.1.3.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

단계 4.2

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$ 이므로 이 함수는 기함수가 아닙니다.

이 함수는 기함수가 아님

단계 5

이 함수는 우함수도 기함수도 아님

단계 6

함수가 기함수가 아니므로, 원점에 대해 대칭이 아닙니다.

원점 대칭 아님

단계 7

함수가 우함수가 아니므로, y축에 대해 대칭이 아닙니다.

y축 대칭 없음

단계 8

함수가 기함수도 아니고 우함수도 아니므로, 원점/y축에 대해 대칭이 아닙니다.

함수가 대칭이 아님

단계 9