기초 미적분 예제

$\frac{7 x^{2} - x - 16}{x (x + 1) (x - 1)}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

단계 1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $C$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

단계 1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (x + 1) (x - 1)$ 입니다.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.5

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.6

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.6.2

$7 x^{2} - x - 16$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 x^{2} - x - 16 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.1.2

$A ((x + 1) (x - 1))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.3.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.3.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.3.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.3.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.5

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.6

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.7

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.7.1

공약수로 약분합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.7.2

$(B) (x (x - 1))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.8

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.9

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.10

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.11

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.12

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.13

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.14

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.14.1

공약수로 약분합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

단계 1.7.14.2

$(C) (x (x + 1))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

단계 1.7.15

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

단계 1.7.16

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

단계 1.7.17

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

단계 1.7.18

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

단계 1.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$B$ 를 옮깁니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

단계 1.8.2

$- A$ 를 옮깁니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

단계 1.8.3

$- x B$ 를 옮깁니다.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$7 = A + B + C$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 1 = - 1 B + C$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 16 = - 1 A$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 16 = - 1 A$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 16 = - 1 A$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 16 = - 1 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 1 A = - 16$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 A = - 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.1.2

$- 1 A = - 16$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$- 1 A = - 16$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{A}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.1.2.2.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

$- 16$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $16$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$7 = A + B + C$ 의 $A$ 를 모두 $16$ 로 바꿉니다.

$7 = (16) + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.3

$7 = 16 + B + C$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$16 + B + C = 7$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$16 + B + C = 7$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$B + C = 7 - 16$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.3.2.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$B = 7 - 16 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.3.2.3

$7$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

단계 3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $- 9 - C$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- 1 = - 1 B + C$ 의 $B$ 를 모두 $- 9 - C$ 로 바꿉니다.

$- 1 = - 1 (- 9 - C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 1 (- 9 - C) + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 1 = - 1 \cdot - 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.4.2.1.1.2

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$- 1 = 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.4.2.1.1.3

$- 1 (- C)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 1 = 9 + 1 C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.4.2.1.1.3.2

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.4.2.1.2

$C$ 를 $C$ 에 더합니다.

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.5

$- 1 = 9 + 2 C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$9 + 2 C = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$9 + 2 C = - 1$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.5.2

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$2 C = - 1 - 9$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.5.2.2

$- 1$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.5.3

$2 C = - 10$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$2 C = - 10$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.5.3.2.1.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1

$- 10$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

단계 3.6

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $- 5$ 로 바꿉니다.

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단계 3.6.1

$B = - 9 - C$ 의 $C$ 를 모두 $- 5$ 로 바꿉니다.

$B = - 9 - (- 5)$

$C = - 5$

$A = 16$

단계 3.6.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.6.2.1

$- 9 - (- 5)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.6.2.1.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$B = - 9 + 5$

$C = - 5$

$A = 16$

단계 3.6.2.1.2

$- 9$ 를 $5$ 에 더합니다.

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

단계 3.7

모든 해를 나열합니다.

$B = - 4, C = - 5, A = 16$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{16}{x} + \frac{- 4}{x + 1} + \frac{- 5}{x - 1}$