기초 미적분 예제

${(3 x - 2 y)}^{5}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(3 x - 2 y)}^{5}$ 의 경우 $n = 5$ 이므로 전개식의 계수는 선 $6$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ 입니다.

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

단계 3

$a$ $3 x$ 및 $b$ $- 2 y$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(3 x)}^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(3 x)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 x)}^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.2

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{5} x^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.3

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$243 x^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.4

$- 2 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$243 \cdot {(- 2)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$243 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.7

$243$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.9

$243$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.10

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.11

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.12

$81$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$243 x^{5} + 405 x^{4} (- 2 y) + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$243 x^{5} + 405 \cdot - 2 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.15

$405$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.16

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 (3^{3} x^{3}) {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.17

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 (27 x^{3}) {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.18

$27$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 x^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.19

$- 2 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 x^{3} ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.20

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 \cdot {(- 2)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.21

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 \cdot 4 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.22

$270$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.23

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 (3^{2} x^{2}) {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.24

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 (9 x^{2}) {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.25

$9$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.26

$- 2 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} ({(- 2)}^{3} y^{3}) + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.27

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 \cdot {(- 2)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.28

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 \cdot - 8 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.29

$90$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.30

간단히 합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 5 (3 x) {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.31

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 x {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.32

$- 2 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 x ({(- 2)}^{4} y^{4}) + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.33

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{4} x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.34

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 16 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.35

$15$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.36

${(3 x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.37

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 3^{0} x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.38

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.39

$x^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.40

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.41

${(- 2 y)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(- 2 y)}^{5}$

단계 4.42

$- 2 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(- 2)}^{5} y^{5}$

단계 4.43

$- 2$ 를 $5$ 승 합니다.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} - 32 y^{5}$