기초 미적분 예제

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

단계 1

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 80 u + 1024$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $1024$ 이고 합은 $- 80$ 입니다.

$- 64, - 16$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

단계 4

$u - 64$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u - 64$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 64 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $64$ 를 더합니다.

$u = 64$

단계 5

$u - 16$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u - 16$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 16 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $16$ 를 더합니다.

$u = 16$

단계 6

$(u - 64) (u - 16) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 64, 16$

단계 7

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

단계 8

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = 64$

단계 9

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{64}$

단계 9.2

$\pm \sqrt{64}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

단계 9.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 8$

단계 9.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 8$

단계 9.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 8$

단계 9.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 8, - 8$

단계 10

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = 16$

단계 11

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = 16$

단계 11.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{16}$

단계 11.3

$\pm \sqrt{16}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

단계 11.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 4$

단계 11.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 4$

단계 11.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 4$

단계 11.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 4$

단계 12

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ 의 해는 $x = 8, - 8, 4, - 4$ 입니다.

$x = 8, - 8, 4, - 4$

단계 13

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

단계 14

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 14.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 14.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

단계 14.1.3

좌변 $3024$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 14.2

$- 8 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$- 8 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 14.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

단계 14.2.3

좌변 $- 560$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 14.3

$- 4 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$- 4 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 14.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

단계 14.3.3

좌변 $1024$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 14.4

$4 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$4 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 14.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

단계 14.4.3

좌변 $- 560$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 14.5

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 14.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

단계 14.5.3

좌변 $3024$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 14.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 4$ 참

$- 4 < x < 4$ 거짓

$4 < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 4$ 참

$- 4 < x < 4$ 거짓

$4 < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

단계 15

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 8 < x < - 4$ 또는 $4 < x < 8$

단계 16

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

단계 17