기초 미적분 예제

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y - 121 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $121$ 를 더합니다.

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y = 121$

단계 1.2

$16 x^{2} - 64 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 64$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 32}{16}$

단계 1.2.3.2.2

$- 32$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 2}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 2$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 64$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

단계 1.2.4.2.1.3

$4096$ 을 $64$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 64$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 64$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$e = - 64$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ 에 대입합니다.

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

단계 1.3

$16 x^{2} - 64 x$ 를 $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ 로 바꿔 방정식 $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y = 121$ 에 대입합니다.

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} + 18 y = 121$

단계 1.4

양변에 $64$ 을 더하여 $- 64$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} + 18 y = 121 + 64$

단계 1.5

$- 9 y^{2} + 18 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 9$

$b = 18$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{18}{2 \cdot - 9}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot - 9}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (- 9)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot - 9}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{9}{- 9}$

단계 1.5.3.2.2

$9$ 및 $- 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 (1)}{- 9}$

단계 1.5.3.2.2.2

$\frac{1}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 1$

단계 1.5.3.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = - 1$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot - 9}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$18$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

단계 1.5.4.2.1.3

$324$ 을 $- 36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 9$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 9$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$e = 9$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 9 {(y - 1)}^{2} + 9$ 에 대입합니다.

$- 9 {(y - 1)}^{2} + 9$

단계 1.6

$- 9 y^{2} + 18 y$ 를 $- 9 {(y - 1)}^{2} + 9$ 로 바꿔 방정식 $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y = 121$ 에 대입합니다.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} + 9 = 121 + 64$

단계 1.7

양변에 $9$ 을 더하여 $9$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} = 121 + 64 - 9$

단계 1.8

$121 + 64 - 9$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$121$ 를 $64$ 에 더합니다.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} = 185 - 9$

단계 1.8.2

$185$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} = 176$

단계 1.9

각 항을 $176$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{176} - \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{176} = \frac{176}{176}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{11} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{\frac{176}{9}} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = \sqrt{11}$

$b = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

$k = 1$

$h = 2$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(2, 1)$

단계 5