기초 미적분 예제

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 20}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 20}$

단계 1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)}$

단계 1.1.2

최대공약수 $x + 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x + 5) (x^{2} + 4)}$

단계 1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 5}$

단계 1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

단계 1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x + 5) (x^{2} + 4)$ 입니다.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.5

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.6

$x^{2} + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.6.2

$6 x^{2} + 13 x + 31$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{A (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.7.1.2

$(A) (x^{2} + 4)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.7.4

$x^{2} + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

단계 1.7.4.2

$(B x + C) (x + 5)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x + 5)$

단계 1.7.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(B x + C) (x + 5)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x (x + 5) + C (x + 5)$

단계 1.7.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C (x + 5)$

단계 1.7.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

단계 1.7.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

단계 1.7.6.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

단계 1.7.6.2

$B x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) + C x + C \cdot 5$

단계 1.7.6.3

$C$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 B x + C x + 5 C$

단계 1.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$B$ 를 옮깁니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 x B + C x + 5 C$

단계 1.8.2

$4 A$ 를 옮깁니다.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + B x^{2} + 5 x B + C x + 4 A + 5 C$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$6 = A + B$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$13 = 5 B + C$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$31 = 4 A + 5 C$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$6 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$A + B = 6$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 6$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

단계 3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $6 - B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$31 = 4 A + 5 C$ 의 $A$ 를 모두 $6 - B$ 로 바꿉니다.

$31 = 4 (6 - B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$31 = 4 \cdot 6 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

단계 3.2.2.1.2

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$31 = 24 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

단계 3.2.2.1.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

단계 3.3

$6$ 와 $- B$ 을 다시 정렬합니다.

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$13 = 5 B + C$

단계 3.4

$13 = 5 B + C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$5 B + C = 13$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 B + C = 13$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

단계 3.4.2

방정식의 양변에서 $5 B$ 를 뺍니다.

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

단계 3.5

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $13 - 5 B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$31 = 24 - 4 B + 5 C$ 의 $C$ 를 모두 $13 - 5 B$ 로 바꿉니다.

$31 = 24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$31 = 24 - 4 B + 5 \cdot 13 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.5.2.1.1.2

$5$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$31 = 24 - 4 B + 65 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.5.2.1.1.3

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.5.2.1.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.2.1

$24$ 를 $65$ 에 더합니다.

$31 = - 4 B + 89 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.5.2.1.2.2

$- 4 B$ 에서 $25 B$ 을 뺍니다.

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.6

$31 = - 29 B + 89$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- 29 B + 89 = 31$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 29 B + 89 = 31$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.6.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

방정식의 양변에서 $89$ 를 뺍니다.

$- 29 B = 31 - 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.6.2.2

$31$ 에서 $89$ 을 뺍니다.

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.6.3

$- 29 B = - 58$ 의 각 항을 $- 29$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

$- 29 B = - 58$ 의 각 항을 $- 29$ 로 나눕니다.

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1

$- 29$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.6.3.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.3.1

$- 58$ 을 $- 29$ 로 나눕니다.

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

단계 3.7

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$C = 13 - 5 B$ 의 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

$C = 13 - 5 \cdot 2$

$B = 2$

$A = - B + 6$

단계 3.7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$13 - 5 \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$C = 13 - 10$

$B = 2$

$A = - B + 6$

단계 3.7.2.1.2

$13$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

단계 3.7.3

$A = - B + 6$ 의 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

$A = - (2) + 6$

$C = 3$

$B = 2$

단계 3.7.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.1

$- (2) + 6$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A = - 2 + 6$

$C = 3$

$B = 2$

단계 3.7.4.1.2

$- 2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

단계 3.8

모든 해를 나열합니다.

$A = 4, C = 3, B = 2$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$

단계 5

$2$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$