기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

단계 1

식 $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - \frac{3}{2}$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 2$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- 4 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (4 x^{2}) - 2 x + 1}{2 x + 3}$

단계 5.1.2

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

단계 5.1.3

$- (4 x^{2}) - (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

단계 5.1.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{2 x + 3}$

단계 5.1.5

$- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

단계 5.1.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.1

$- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ 을 $- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

단계 5.1.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 3}$

단계 5.2

$- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

음의 $4 x^{2} + 2 x - 1$

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

단계 5.2.4

괄호를 제거합니다.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

단계 5.2.5

괄호를 제거합니다.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

단계 5.2.6

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

단계 5.2.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

단계 5.2.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

단계 5.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$3$

$4 x^{2}$

$2 x$

$1$

단계 5.4

피제수 $- 4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

단계 5.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

단계 5.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x^{2} - 6 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

단계 5.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$

단계 5.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

단계 5.9

피제수 $4 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

단계 5.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$6$

단계 5.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x + 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$

단계 5.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$
							-	$5$

단계 5.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- 2 x + 2 - \frac{5}{2 x + 3}$

단계 5.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = - 2 x + 2$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - \frac{3}{2}$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = - 2 x + 2$

단계 7