기초 미적분 예제

${(x + 3)}^{6}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(x + 3)}^{6}$ 의 경우 $n = 6$ 이므로 전개식의 계수는 선 $7$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ 입니다.

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

단계 3

$a$ $x$ 및 $b$ $3$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(x)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(x)}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.3

$x^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.4

지수값을 계산합니다.

$x^{6} + 6 x^{5} \cdot 3 + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.5

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 9 + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.7

$9$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.8

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 27 + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.9

$27$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.10

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 81 + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.11

$81$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.12

간단히 합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 x {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.13

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 x \cdot 243 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.14

$243$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.15

${(x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

단계 4.16

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 1 {(3)}^{6}$

단계 4.17

${(3)}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + {(3)}^{6}$

단계 4.18

$3$ 를 $6$ 승 합니다.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 729$