기초 미적분 예제

${(x - 3 y)}^{5}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(x - 3 y)}^{5}$ 의 경우 $n = 5$ 이므로 전개식의 계수는 선 $6$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ 입니다.

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

단계 3

$a$ $x$ 및 $b$ $- 3 y$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(x)}^{5} {(- 3 y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(x)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x)}^{5} {(- 3 y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.2

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

${(- 3)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.5

$x^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.7

$x^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.8

간단히 합니다.

$x^{5} + 5 x^{4} (- 3 y) + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{5} + 5 \cdot - 3 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.10

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.11

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 x^{3} ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.12

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 \cdot {(- 3)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.13

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 \cdot 9 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.14

$10$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.15

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.16

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 \cdot {(- 3)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.17

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 \cdot - 27 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.18

$10$ 에 $- 27$ 을 곱합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.19

간단히 합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 x {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.20

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 x ({(- 3)}^{4} y^{4}) + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.21

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 \cdot {(- 3)}^{4} x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.22

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 \cdot 81 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.23

$5$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.24

${(x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.25

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + 1 {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.26

${(- 3 y)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(- 3 y)}^{5}$

단계 4.27

$- 3 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(- 3)}^{5} y^{5}$

단계 4.28

$- 3$ 를 $5$ 승 합니다.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} - 243 y^{5}$