기초 미적분 예제

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64} \leq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$49 x^{2} - 81 = 0$

$x^{2} - 64 = 0$

단계 2

방정식의 양변에 $81$ 를 더합니다.

$49 x^{2} = 81$

단계 3

$49 x^{2} = 81$ 의 각 항을 $49$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$49 x^{2} = 81$ 의 각 항을 $49$ 로 나눕니다.

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$49$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

단계 3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{81}{49}$

단계 4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{49}}$

단계 5

$\pm \sqrt{\frac{81}{49}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{\frac{81}{49}}$ 을 $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{49}}$

단계 5.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{49}}$

단계 5.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{7^{2}}}$

단계 5.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{9}{7}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{9}{7}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{9}{7}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

단계 7

방정식의 양변에 $64$ 를 더합니다.

$x^{2} = 64$

단계 8

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{64}$

단계 9

$\pm \sqrt{64}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

단계 9.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 8$

단계 10

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 8$

단계 10.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 8$

단계 10.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 8, - 8$

단계 11

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

$x = 8, - 8$

단계 12

해를 하나로 합합니다.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}, 8, - 8$

단계 13

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 64 = 0$

단계 13.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

방정식의 양변에 $64$ 를 더합니다.

$x^{2} = 64$

단계 13.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{64}$

단계 13.2.3

$\pm \sqrt{64}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.3.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

단계 13.2.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 8$

단계 13.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 8$

단계 13.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 8$

단계 13.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 8, - 8$

단계 13.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

단계 14

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 8$

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$

$\frac{9}{7} < x < 8$

$x > 8$

단계 15

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 15.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$\frac{49 {(- 10)}^{2} - 81}{{(- 10)}^{2} - 64} \leq 0$

단계 15.1.3

좌변 $133.86\overline{1}$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 15.2

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5$

단계 15.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5$ 로 치환합니다.

$\frac{49 {(- 5)}^{2} - 81}{{(- 5)}^{2} - 64} \leq 0$

단계 15.2.3

좌변 $- 29.\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 15.3

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 15.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{49 {(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{2} - 64} \leq 0$

단계 15.3.3

좌변 $1.265625$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 15.4

$\frac{9}{7} < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$\frac{9}{7} < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 5$

단계 15.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $5$ 로 치환합니다.

$\frac{49 {(5)}^{2} - 81}{{(5)}^{2} - 64} \leq 0$

단계 15.4.3

좌변 $- 29.\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 15.5

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 15.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\frac{49 {(10)}^{2} - 81}{{(10)}^{2} - 64} \leq 0$

단계 15.5.3

좌변 $133.86\overline{1}$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 15.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ 참

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ 거짓

$\frac{9}{7} < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ 참

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ 거짓

$\frac{9}{7} < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

단계 16

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 8 < x \leq - \frac{9}{7}$ 또는 $\frac{9}{7} \leq x < 8$

단계 17

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 8, - \frac{9}{7}] \cup [\frac{9}{7}, 8)$

단계 18