기초 미적분 예제

$\log_{5} (2 x - 1)$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\log_{5} (2 y - 1) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

단계 2.2

로그의 정의를 이용하여 $\log_{5} (2 y - 1) = x$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$5^{x} = 2 y - 1$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2 y - 1 = 5^{x}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 y - 1 = 5^{x}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 y = 5^{x} + 1$

단계 2.3.3

$2 y = 5^{x} + 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$2 y = 5^{x} + 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 2.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 2.3.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ 가 $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

단계 4.2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

단계 4.2.5

$2 x - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

단계 4.2.5.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

단계 4.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

단계 4.2.6.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

단계 4.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

단계 4.3.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

단계 4.3.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

단계 4.3.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

단계 4.3.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

단계 4.3.4

$5^{x} + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

단계 4.3.4.2

$5^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

단계 4.3.5

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

단계 4.3.6

$5$ 에 밑이 $5$ 인 로그를 취하면 $1$ 이 됩니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

단계 4.3.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ 은 $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$