기초 미적분 예제

$(x^{2} + 1) (x + 5) (x - 3) \leq 0$

단계 1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 2.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 2.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 2.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 2.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 2.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 3

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 5

$(x^{2} + 1) (x + 5) (x - 3) \leq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i, - 5, 3$

단계 6

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

단계 7

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 7.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 7.1.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 7.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) + 5) ((- 8) - 3) \leq 0$

단계 7.1.3

좌변 $2145$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 7.2

$- 5 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 7.2.1

$- 5 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 7.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$({(0)}^{2} + 1) ((0) + 5) ((0) - 3) \leq 0$

단계 7.2.3

좌변 $- 15$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 7.3

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 7.3.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 7.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$({(6)}^{2} + 1) ((6) + 5) ((6) - 3) \leq 0$

단계 7.3.3

좌변 $1221$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 7.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 5$ 거짓

$- 5 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

$x < - 5$ 거짓

$- 5 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

단계 8

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 5 \leq x \leq 3$

단계 9

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[- 5, 3]$

단계 10