기초 미적분 예제

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y - 47 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $47$ 를 더합니다.

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$

단계 1.2

$9 x^{2} + 54 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$54$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$54$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{27}{9}$

단계 1.2.3.2.2

$27$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{3}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 3$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$54$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

단계 1.2.4.2.1.3

$2916$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 81$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 81$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$e = - 81$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ 에 대입합니다.

$9 {(x + 3)}^{2} - 81$

단계 1.3

$9 x^{2} + 54 x$ 를 $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ 에 대입합니다.

$9 {(x + 3)}^{2} - 81 + 16 y^{2} - 32 y = 47$

단계 1.4

양변에 $81$ 을 더하여 $- 81$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 47 + 81$

단계 1.5

$16 y^{2} - 32 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$- 32$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$- 32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 16}{16}$

단계 1.5.3.2.2

$- 16$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$- 16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$- 32$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

단계 1.5.4.2.1.3

$1024$ 을 $64$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 16$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 16$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$e = - 16$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ 에 대입합니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

단계 1.6

$16 y^{2} - 32 y$ 를 $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ 로 바꿔 방정식 $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ 에 대입합니다.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 47 + 81$

단계 1.7

양변에 $16$ 을 더하여 $- 16$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 47 + 81 + 16$

단계 1.8

$47 + 81 + 16$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$47$ 를 $81$ 에 더합니다.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 128 + 16$

단계 1.8.2

$128$ 를 $16$ 에 더합니다.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 144$

단계 1.9

각 항을 $144$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{9 {(x + 3)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 3$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 3, 1)$

단계 5