기초 미적분 예제

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$2 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

단계 5.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\sqrt{4 + 12}$

단계 5.3.3.2

$4$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\sqrt{16}$

단계 5.3.3.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{4^{2}}$

단계 5.3.3.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$4$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, 2)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $k$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - a)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, - 2)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h, k \pm a)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(0, 2), (0, - 2)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, 4)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, - 4)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(0, 4), (0, - 4)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

단계 8.3.1.2

$2 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

단계 8.3.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

단계 8.3.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

단계 8.3.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

단계 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

단계 8.3.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

단계 8.3.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

단계 8.3.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

단계 8.3.1.5

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

단계 8.3.1.6

$4$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

단계 8.3.1.7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

단계 8.3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{4}{2}$

단계 8.3.2

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

$2 {\sqrt{3}}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

단계 9.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

단계 9.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

단계 9.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

단계 9.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

단계 9.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

단계 9.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

단계 9.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

단계 9.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3^{1}}{2}$

단계 9.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{3}{2}$

단계 10

쌍곡선이 위아래로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$

단계 11

$\frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{\sqrt{3}}{3} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$

단계 11.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$

단계 12

$- \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$

단계 12.2

$x$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

꼭짓점: $(0, 2), (0, - 2)$

초점: $(0, 4), (0, - 4)$

이심률: $2$

초점 변수: $\frac{3}{2}$

점근선: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

단계 15