기초 미적분 예제

$f (x) = - 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$

단계 1

$- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

유리근 정리르 이용하여 $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

단계 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5$

단계 2.1.1.3

$- 0.25$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.25$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$- 0.25$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 4 {(- 0.25)}^{3} + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

단계 2.1.1.3.2

$- 0.25$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 4 \cdot - 0.015625 + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

단계 2.1.1.3.3

$- 4$ 에 $- 0.015625$ 을 곱합니다.

$0.0625 + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

단계 2.1.1.3.4

$- 0.25$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.0625 + 31 \cdot 0.0625 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

단계 2.1.1.3.5

$31$ 에 $0.0625$ 을 곱합니다.

$0.0625 + 1.9375 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

단계 2.1.1.3.6

$0.0625$ 를 $1.9375$ 에 더합니다.

$2 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

단계 2.1.1.3.7

$- 20$ 에 $- 0.25$ 을 곱합니다.

$2 + 5 - 7$

단계 2.1.1.3.8

$2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$7 - 7$

단계 2.1.1.3.9

$7$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.1.4

$- 0.25$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $4 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7}{4 x + 1}$

단계 2.1.1.5

$- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ 을 $4 x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$4 x$

$1$

$4 x^{3}$

$31 x^{2}$

$20 x$

$7$

단계 2.1.1.5.2

피제수 $- 4 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$

단계 2.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

단계 2.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$

단계 2.1.1.5.7

피제수 $32 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$

단계 2.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$8 x$

단계 2.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $32 x^{2} + 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$

단계 2.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$

단계 2.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$

단계 2.1.1.5.12

피제수 $- 28 x$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$

단계 2.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							-	$28 x$	-	$7$

단계 2.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 28 x - 7$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							+	$28 x$	+	$7$

단계 2.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							+	$28 x$	+	$7$
										$0$

단계 2.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- x^{2} + 8 x - 7$

단계 2.1.1.6

$- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 8 x - 7) = 0$

단계 2.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ 이고 합이 $b = 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.2.1.1.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 8 (x) - 7) = 0$

단계 2.1.2.1.1.2

$8$ 를 $1$ + $7$ 로 다시 씁니다.

$(4 x + 1) (- x^{2} + (1 + 7) x - 7) = 0$

단계 2.1.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 1 x + 7 x - 7) = 0$

단계 2.1.2.1.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 x + 1) (- x^{2} + x + 7 x - 7) = 0$

단계 2.1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(4 x + 1) ((- x^{2} + x) + 7 x - 7) = 0$

단계 2.1.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(4 x + 1) (x (- x + 1) - 7 (- x + 1)) = 0$

단계 2.1.2.1.3

최대공약수 $- x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(4 x + 1) ((- x + 1) (x - 7)) = 0$

단계 2.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(4 x + 1) (- x + 1) (x - 7) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$4 x + 1 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

단계 2.3

$4 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 x + 1 = 0$

단계 2.3.2

$4 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$4 x = - 1$

단계 2.3.2.2

$4 x = - 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.2.1

$4 x = - 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

단계 2.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

단계 2.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{4}$

단계 2.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{4}$

단계 2.4

$- x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x + 1 = 0$

단계 2.4.2

$- x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 2.4.2.2

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.4.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 2.5

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 2.6

$(4 x + 1) (- x + 1) (x - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{4}, 1, 7$

단계 3