기초 미적분 예제

$x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$

단계 1

$x^{2} - 3 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

단계 1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = \frac{- 3}{2}$

단계 1.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{3}{2}$

단계 1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

단계 1.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{9}{4}$

단계 1.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{9}{4}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{9}{4}$

단계 1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

단계 2

$x^{2} - 3 x$ 를 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y + y^{2} = 81$

단계 3

양변에 $\frac{9}{4}$ 을 더하여 $- \frac{9}{4}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y + y^{2} = 81 + \frac{9}{4}$

단계 4

$y + y^{2}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

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단계 4.1

$y$ 와 $y^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y^{2} + y$

단계 4.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

단계 4.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 4.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{1}{2}$

단계 4.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 4.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 4.5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 4.5.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{4}$

단계 4.5.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{4}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{4}$

단계 4.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 에 대입합니다.

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

단계 5

$y + y^{2}$ 를 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 81 + \frac{9}{4}$

단계 6

양변에 $\frac{1}{4}$ 을 더하여 $- \frac{1}{4}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

단계 7

$81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9 + 1}{4}$

단계 7.2

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{10}{4}$

단계 7.3

$10$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 (5)}{4}$

단계 7.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

단계 7.3.2.2

공약수로 약분합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

단계 7.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{5}{2}$

단계 7.4

공통 분모를 가지는 분수로 $81$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

단계 7.5

$81$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

단계 7.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2 + 5}{2}$

단계 7.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.7.1

$81$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{162 + 5}{2}$

단계 7.7.2

$162$ 를 $5$ 에 더합니다.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{167}{2}$