기초 미적분 예제

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y + 221 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $221$ 를 뺍니다.

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$

단계 1.2

$5 x^{2} - 80 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 5$

$b = - 80$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 80}{2 \cdot 5}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 80$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 80$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 5$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 (5)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 40}{5}$

단계 1.2.3.2.2

$- 40$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 40$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 8}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 8$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 80)}^{2}}{4 \cdot 5}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 80$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{6400}{4 \cdot 5}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{6400}{20}$

단계 1.2.4.2.1.3

$6400$ 을 $20$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 320$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $320$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 320$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $320$ 을 뺍니다.

$e = - 320$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ 에 대입합니다.

$5 {(x - 8)}^{2} - 320$

단계 1.3

$5 x^{2} - 80 x$ 를 $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ 로 바꿔 방정식 $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ 에 대입합니다.

$5 {(x - 8)}^{2} - 320 + 9 y^{2} + 54 y = - 221$

단계 1.4

양변에 $320$ 을 더하여 $- 320$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 221 + 320$

단계 1.5

$9 y^{2} + 54 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$54$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$54$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{27}{9}$

단계 1.5.3.2.2

$27$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{3}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 3$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$54$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

단계 1.5.4.2.1.3

$2916$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 81$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 81$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$e = - 81$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ 에 대입합니다.

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

단계 1.6

$9 y^{2} + 54 y$ 를 $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ 로 바꿔 방정식 $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ 에 대입합니다.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 221 + 320$

단계 1.7

양변에 $81$ 을 더하여 $- 81$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 221 + 320 + 81$

단계 1.8

$- 221 + 320 + 81$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$- 221$ 를 $320$ 에 더합니다.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 99 + 81$

단계 1.8.2

$99$ 를 $81$ 에 더합니다.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 180$

단계 1.9

각 항을 $180$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{5 {(x - 8)}^{2}}{180} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 8$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(8, - 3)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$2 \sqrt{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

단계 5.3.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

단계 5.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}$

단계 5.3.3

$- (4 \cdot 5)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\sqrt{36 - 1 \cdot 20}$

단계 5.3.3.2

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\sqrt{36 - 20}$

단계 5.3.4

$36$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$\sqrt{16}$

단계 5.3.5

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{4^{2}}$

단계 5.3.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$4$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(8 + 6, - 3)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(14, - 3)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(8 - (6), - 3)$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(2, - 3)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(8 + 4, - 3)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(12, - 3)$

단계 7.4

타원의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(8 - (4), - 3)$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(4, - 3)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

단계 8.3.1.2

$2 \sqrt{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

단계 8.3.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

단계 8.3.1.4

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

단계 8.3.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

단계 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

단계 8.3.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

단계 8.3.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

단계 8.3.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

단계 8.3.1.5

$- (4 \cdot 5)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.5.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

단계 8.3.1.5.2

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

단계 8.3.1.6

$36$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

단계 8.3.1.7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

단계 8.3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{4}{6}$

단계 8.3.2

$4$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2)}{6}$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

단계 8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(8, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

이심률: $\frac{2}{3}$

단계 10