기초 미적분 예제

$\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4} \geq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} + 9 x - 22 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 9 x - 22$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 22$ 이고 합은 $9$ 입니다.

$- 2, 11$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 2) (x + 11) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

$x + 11 = 0$

단계 4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5

$x + 11$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x + 11$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 11 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $11$ 를 뺍니다.

$x = - 11$

단계 6

$(x - 2) (x + 11) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 11$

단계 7

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 2, - 11$

$x = - 4$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = 2, - 11, - 4$

단계 10

$\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 4 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 12.1

$x < - 11$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.1.1

$x < - 11$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 14$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 14$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 14)}^{2} + 9 (- 14) - 22}{(- 14) + 4} \geq 0$

단계 12.1.3

좌변 $- 4.8$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.2

$- 11 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.2.1

$- 11 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) - 22}{(- 8) + 4} \geq 0$

단계 12.2.3

좌변 $7.5$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.3

$- 4 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.3.1

$- 4 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) - 22}{(0) + 4} \geq 0$

단계 12.3.3

좌변 $- 5.5$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(4)}^{2} + 9 (4) - 22}{(4) + 4} \geq 0$

단계 12.4.3

좌변 $3.75$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 11$ 거짓

$- 11 < x < - 4$ 참

$- 4 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 11$ 거짓

$- 11 < x < - 4$ 참

$- 4 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 11 \leq x < - 4$ 또는 $x \geq 2$

단계 14

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[- 11, - 4) \cup [2, \infty)$

단계 15