기초 미적분 예제

$\frac{11}{x (1 - x)}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

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단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

단계 1.2

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (1 - x)$ 입니다.

$\frac{11 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{11 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.4

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.4.2

$11$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$11 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$11 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.5.1.2

$A (1 - x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$11 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$11 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.5.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$11 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.5.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$11 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.5.5

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.5.1

공약수로 약분합니다.

$11 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.5.5.2

$(B) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$11 = A - A x + (B) (x)$

$11 = A - A x + B x$

단계 1.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$A$ 를 옮깁니다.

$11 = A - x A + B x$

단계 1.6.2

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$11 = A - x A + B x$

단계 1.6.3

$A$ 를 옮깁니다.

$11 = - x A + B x + A$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

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단계 2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = - 1 A + B$

단계 2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$11 = A$

단계 2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = - 1 A + B$

$11 = A$

$0 = - 1 A + B$

$11 = A$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

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단계 3.1

$A = 11$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = 11$

$0 = - 1 A + B$

단계 3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $11$ 로 바꿉니다.

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단계 3.2.1

$0 = - 1 A + B$ 의 $A$ 를 모두 $11$ 로 바꿉니다.

$0 = - 1 \cdot 11 + B$

$A = 11$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$- 1$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$0 = - 11 + B$

$A = 11$

$0 = - 11 + B$

$A = 11$

$0 = - 11 + B$

$A = 11$

단계 3.3

$0 = - 11 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$- 11 + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 11 + B = 0$

$A = 11$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $11$ 를 더합니다.

$B = 11$

$A = 11$

$B = 11$

$A = 11$

단계 3.4

연립방정식을 풉니다.

$B = 11 A = 11$

단계 3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = 11, A = 11$

단계 4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{11}{x} + \frac{11}{1 - x}$