기초 미적분 예제

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35} \geq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$3 x + 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

단계 2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$3 x = - 5$

단계 3

$3 x = - 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 x = - 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

단계 3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{3}$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5}{3}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 35$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 35$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 5, 7$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

단계 6

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 7

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 8

$(x - 5) (x + 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 7$

단계 9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - \frac{5}{3}$

$x = 5, - 7$

단계 10

해를 하나로 합합니다.

$x = - \frac{5}{3}, 5, - 7$

단계 11

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

단계 11.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 35$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 35$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 5, 7$

단계 11.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

단계 11.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

단계 11.2.3

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 11.2.3.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 11.2.4

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 11.2.4.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 11.2.5

$(x - 5) (x + 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 7$

단계 11.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 5) \cup (5, \infty)$

단계 12

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < x < 5$

$x > 5$

단계 13

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 13.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (- 10) + 5}{{(- 10)}^{2} + 2 (- 10) - 35} \geq 0$

단계 13.1.3

좌변 $- 0.\overline{5}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.2

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 13.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (- 4) + 5}{{(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 35} \geq 0$

단계 13.2.3

좌변 $0.\overline{259}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 13.3

$- \frac{5}{3} < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- \frac{5}{3} < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 13.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (0) + 5}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 35} \geq 0$

단계 13.3.3

좌변 $- 0.\overline{142857}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.4

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 13.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (8) + 5}{{(8)}^{2} + 2 (8) - 35} \geq 0$

단계 13.4.3

좌변 $0.6\overline{4}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 13.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 7$ 거짓

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ 참

$- \frac{5}{3} < x < 5$ 거짓

$x > 5$ 참

$x < - 7$ 거짓

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ 참

$- \frac{5}{3} < x < 5$ 거짓

$x > 5$ 참

단계 14

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 7 < x \leq - \frac{5}{3}$ 또는 $x > 5$

단계 15

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 7, - \frac{5}{3}] \cup (5, \infty)$

단계 16