기초 미적분 예제

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x - 5 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$

단계 1.2

$4 x^{2} + 8 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{4}{4}$

단계 1.2.3.2.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4}{4}$

단계 1.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = 1$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{64}{16}$

단계 1.2.4.2.1.3

$64$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 4$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$e = - 4$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ 에 대입합니다.

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

단계 1.3

$4 x^{2} + 8 x$ 를 $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ 로 바꿔 방정식 $4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$ 에 대입합니다.

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + y^{2} = 5$

단계 1.4

양변에 $4$ 을 더하여 $- 4$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5 + 4$

단계 1.5

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 9$

단계 1.6

각 항을 $9$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

단계 1.7

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = - 1$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 1, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

단계 5.3.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

단계 5.3.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

단계 5.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

단계 5.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

단계 5.3.6

$9$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

단계 5.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

단계 5.3.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.1

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

단계 5.3.8.2

$36$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

단계 5.3.9

$\sqrt{\frac{27}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.1

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.1.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.10.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.10.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.11

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.11.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 5.3.11.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, 0 + 3)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(- 1, 3)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, 0 - (3))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(- 1, - 3)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- 1, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

단계 8.3.1.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

단계 8.3.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

단계 8.3.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

단계 8.3.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

단계 8.3.1.6

$9$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

단계 8.3.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

단계 8.3.1.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.8.1

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

단계 8.3.1.8.2

$36$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

단계 8.3.1.9

$\sqrt{\frac{27}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

단계 8.3.1.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.10.1

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.10.1.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

단계 8.3.1.10.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

단계 8.3.1.10.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

단계 8.3.1.11

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.11.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

단계 8.3.1.11.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

단계 8.3.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 8.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$3 \sqrt{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 8.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

이심률: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10