기초 미적분 예제

$\frac{x^{2}}{225} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2}}{225}$ 를 뺍니다.

$- \frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

단계 2

방정식의 양변에 $- 64$ 을 곱합니다.

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64}) = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1.1

$- \frac{y^{2}}{64}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 64 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.1.1.1.2

$- 64$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$64 (- 1) \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$64 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.1.1.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.1.1.2.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = - 64 \cdot 1 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.2.1.2

$- 64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 64 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

단계 3.2.1.3

$- 64 (- \frac{x^{2}}{225})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 64 + 64 \frac{x^{2}}{225}$

단계 3.2.1.3.2

$64$ 와 $\frac{x^{2}}{225}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = - 64 + \frac{64 x^{2}}{225}$

단계 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$

단계 5

$\pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$64 x^{2}$ 을 ${(8 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{225}}$

단계 5.2

$225$ 을 $15^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}}$

단계 5.3

$\frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}$ 을 ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 64 + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 8^{2} + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

단계 5.4.2

$- 8^{2}$ 와 ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8 x}{15})}^{2} - 8^{2}}$

단계 5.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{8 x}{15}$ 이고 $b = 8$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

단계 5.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$\frac{8 x}{15} + 8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1

$\frac{8 x}{15}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

단계 5.6.1.2

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8 (1)) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

단계 5.6.1.3

$8 \frac{x}{15} + 8 (1)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

단계 5.6.2

$\frac{8 x}{15} - 8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$\frac{8 x}{15}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} - 8)}$

단계 5.6.2.2

$- 8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} + 8 (- 1))}$

단계 5.6.2.3

$8 \frac{x}{15} + 8 (- 1)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 (\frac{x}{15} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) \cdot 8 (\frac{x}{15} - 1)}$

단계 5.6.3

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{x}{15} - 1)}$

단계 5.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + \frac{15}{15}) (\frac{x}{15} - 1)}$

단계 5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1)}$

단계 5.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}$

단계 5.10

$- 1$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}$

단계 5.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 1 \cdot 15}{15}}$

단계 5.12

$- 1$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 15}{15}}$

단계 5.13

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.13.1

$64$ 와 $\frac{x + 15}{15}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15)}{15} \cdot \frac{x - 15}{15}}$

단계 5.13.2

$\frac{64 (x + 15)}{15}$ 에 $\frac{x - 15}{15}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{15 \cdot 15}}$

단계 5.13.3

$15$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}}$

단계 5.14

$\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}$ 을 ${(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.1

$64 (x + 15) (x - 15)$ 에서 완전제곱인 $8^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{225}}$

단계 5.14.2

$225$ 에서 완전제곱인 $15^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}}$

단계 5.14.3

분수 $\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))}$

단계 5.15

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{8}{15} \sqrt{(x + 15) (x - 15)}$

단계 5.16

$\frac{8}{15}$ 와 $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

단계 7

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(x + 15) (x - 15) \geq 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

단계 8.2

$x + 15$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x + 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 15 = 0$

단계 8.2.2

방정식의 양변에서 $15$ 를 뺍니다.

$x = - 15$

단계 8.3

$x - 15$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x - 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 15 = 0$

단계 8.3.2

방정식의 양변에 $15$ 를 더합니다.

$x = 15$

단계 8.4

$(x + 15) (x - 15) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 15, 15$

단계 8.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

단계 8.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$x < - 15$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1.1

$x < - 15$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 18$

단계 8.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 18$ 로 치환합니다.

$((- 18) + 15) ((- 18) - 15) \geq 0$

단계 8.6.1.3

좌변 $99$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.6.2

$- 15 < x < 15$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.1

$- 15 < x < 15$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$((0) + 15) ((0) - 15) \geq 0$

단계 8.6.2.3

좌변 $- 225$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.3

$x > 15$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1

$x > 15$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 18$

단계 8.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $18$ 로 치환합니다.

$((18) + 15) ((18) - 15) \geq 0$

단계 8.6.3.3

좌변 $99$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 15$ 참

$- 15 < x < 15$ 거짓

$x > 15$ 참

$x < - 15$ 참

$- 15 < x < 15$ 거짓

$x > 15$ 참

단계 8.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 15$ 또는 $x \geq 15$

단계 9

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 15] \cup [15, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 15, x \geq 15}$

단계 10

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${y | y \in ℝ}$

단계 11

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 15] \cup [15, \infty), {x | x \leq - 15, x \geq 15}$

치역: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

단계 12