기초 미적분 예제

$x^{3} - 3 x^{2} - x > - 3$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} - 3 x^{2} - x = - 3$

단계 2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0$

단계 3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3 = 0$

단계 3.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (x - 3) - (x - 3) = 0$

단계 3.2

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

단계 3.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 3.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 3.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 6

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 7

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 8

$(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 1, 1$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 10.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - (- 4) > - 3$

단계 10.1.3

좌변 $- 108$ 이 우변 $- 3$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.2

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.2.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - (0) > - 3$

단계 10.2.3

좌변 $0$ 가 우변 $- 3$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 10.3

$1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.3.1

$1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - (2) > - 3$

단계 10.3.3

좌변 $- 6$ 이 우변 $- 3$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 10.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{3} - 3 {(6)}^{2} - (6) > - 3$

단계 10.4.3

좌변 $102$ 가 우변 $- 3$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 10.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 1 < x < 1$ 또는 $x > 3$

단계 12

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- 1, 1) \cup (3, \infty)$

단계 13