기초 미적분 예제

$x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 3, 1$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 6

$(x - 3) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 1$

단계 7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

단계 8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 8.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 3 \geq 0$

단계 8.1.3

좌변 $21$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 8.2

$- 1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$- 1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3 \geq 0$

단계 8.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 8.3

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.3.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{2} - 2 \cdot 6 - 3 \geq 0$

단계 8.3.3

좌변 $21$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 1$ 또는 $x \geq 3$

단계 10

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

단계 11