기초 미적분 예제

$\frac{3}{x - 1} > \frac{4}{x + 1}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{4}{x + 1}$ 를 뺍니다.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

단계 2

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3}{x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 1) (x + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{3}{x - 1}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

단계 2.3.2

$\frac{4}{x + 1}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.3.3

$(x - 1) (x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 (x + 1) - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.5.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 3 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 3 - 4 x - 4 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.5.4

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 3 - 4 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.5.5

$3 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x + 3 + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.5.6

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- x + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.7

$7$ 을 $- 1 (- 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (- 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.8

$- (x) - 1 (- 7)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.9

$- (x - 7)$ 을 $- 1 (x - 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 6

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = 1$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 7, - 1, 1$

단계 9

$- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

단계 9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 9.2.2

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.2.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 9.2.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9.2.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 9.2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 9.2.4

$(x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{3}{(- 4) - 1} > \frac{4}{(- 4) + 1}$

단계 11.1.3

좌변 $- 0.6$ 가 우변 $- 1.\overline{3}$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.2

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{3}{(0) - 1} > \frac{4}{(0) + 1}$

단계 11.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $4$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.3

$1 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$1 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{3}{(4) - 1} > \frac{4}{(4) + 1}$

단계 11.3.3

좌변 $1$ 가 우변 $0.8$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.4

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\frac{3}{(10) - 1} > \frac{4}{(10) + 1}$

단계 11.4.3

좌변 $0.\overline{3}$ 이 우변 $0.\overline{36}$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 1$ 또는 $1 < x < 7$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 1) \cup (1, 7)$

단계 14