기초 미적분 예제

$f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$

단계 1

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

단계 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

단계 2.1.1.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.1.1.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 15 \cdot - 1 + 9$

단계 2.1.1.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 15 \cdot - 1 + 9$

단계 2.1.1.3.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1 + 7 \cdot 1 + 15 \cdot - 1 + 9$

단계 2.1.1.3.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 7 + 15 \cdot - 1 + 9$

단계 2.1.1.3.5

$- 1$ 를 $7$ 에 더합니다.

$6 + 15 \cdot - 1 + 9$

단계 2.1.1.3.6

$15$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 - 15 + 9$

단계 2.1.1.3.7

$6$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$- 9 + 9$

단계 2.1.1.3.8

$- 9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$0$

단계 2.1.1.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9}{x + 1}$

단계 2.1.1.5

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$15 x$

$9$

단계 2.1.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$

단계 2.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

단계 2.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$

단계 2.1.1.5.7

피제수 $6 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$

단계 2.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

단계 2.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x^{2} + 6 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

단계 2.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$

단계 2.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$

단계 2.1.1.5.12

피제수 $9 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$

단계 2.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	+	$9$

단계 2.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $9 x + 9$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$

단계 2.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$15 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$
										$0$

단계 2.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 6 x + 9$

단계 2.1.1.6

$x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 1) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

단계 2.1.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 1) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

단계 2.1.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 2.1.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

단계 2.1.2.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.4

${(x + 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.4.2

${(x + 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 2.4.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 2.5

$(x + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, - 3$

단계 3