기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

단계 1

식 $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 5, x = - 1$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 5$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 5$ 이므로 $x = - 5$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 5$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이므로 $x = - 1$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 1$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - 5, - 1$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 6 x + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $5$ 이고 합은 $6$ 입니다.

$1, 5$

단계 8.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{(x + 1) (x + 5)}$

단계 8.2

$(x + 1) (x + 5)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x (x + 5) + 1 (x + 5)}$

단계 8.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5)}$

단계 8.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5}$

단계 8.2.4

$x$ 와 $5$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

단계 8.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

단계 8.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

단계 8.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{1 + 1} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

단계 8.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

단계 8.2.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5}$

단계 8.2.10

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 5}$

단계 8.2.11

$5 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

단계 8.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

단계 8.4

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

단계 8.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

단계 8.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

단계 8.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

단계 8.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

단계 8.9

피제수 $- x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

단계 8.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$5$

단계 8.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{2} - 6 x - 5$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

단계 8.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$x$

$4$

단계 8.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$2 x - 1 + \frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 5}$

단계 8.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 2 x - 1$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 5, - 1$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 2 x - 1$

단계 10