기초 미적분 예제

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2}}{100}$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

단계 2

방정식의 양변에 $64$ 을 곱합니다.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

단계 3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

단계 3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

단계 3.2.1.1.2

$64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

단계 3.2.1.1.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{100}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

단계 3.2.1.1.3.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

단계 3.2.1.1.3.3

$100$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

단계 3.2.1.1.3.4

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

단계 3.2.1.1.3.5

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

단계 3.2.1.1.4

$16$ 와 $\frac{- x^{2}}{25}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

단계 3.2.1.1.5

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

단계 3.2.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

단계 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

단계 5

$\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

단계 5.1.2

$\frac{16 x^{2}}{25}$ 을 ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

단계 5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 8$ 이고 $b = \frac{4 x}{5}$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.3

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$8$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$8 \cdot 5 + 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$8 \cdot 5$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.5.1.2

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.5.1.3

$4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.5.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$8$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

단계 5.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

단계 5.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$8 \cdot 5 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1.1

$8 \cdot 5$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

단계 5.8.1.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

단계 5.8.1.3

$4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

단계 5.8.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

단계 5.9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$\frac{4 (10 + x)}{5}$ 에 $\frac{4 (10 - x)}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

단계 5.9.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

단계 5.9.2.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

단계 5.10

$\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ 을 ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$16 (10 + x) (10 - x)$ 에서 완전제곱인 ${(2^{2})}^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

단계 5.10.2

$25$ 에서 완전제곱인 $5^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

단계 5.10.3

분수 $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

단계 5.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

단계 5.12

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

단계 5.13

$\frac{4}{5}$ 와 $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

단계 7

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

단계 8.2

$10 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$10 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$10 + x = 0$

단계 8.2.2

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$x = - 10$

단계 8.3

$10 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$10 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$10 - x = 0$

단계 8.3.2

$10 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$- x = - 10$

단계 8.3.2.2

$- x = - 10$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$- x = - 10$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

단계 8.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

단계 8.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 10}{- 1}$

단계 8.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.3.1

$- 10$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 10$

단계 8.4

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 10, 10$

단계 8.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

단계 8.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$x < - 10$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1.1

$x < - 10$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 12$

단계 8.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 12$ 로 치환합니다.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

단계 8.6.1.3

좌변 $- 44$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.2

$- 10 < x < 10$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.1

$- 10 < x < 10$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

단계 8.6.2.3

좌변 $100$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.6.3

$x > 10$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1

$x > 10$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 12$

단계 8.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $12$ 로 치환합니다.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

단계 8.6.3.3

좌변 $- 44$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 10$ 거짓

$- 10 < x < 10$ 참

$x > 10$ 거짓

$x < - 10$ 거짓

$- 10 < x < 10$ 참

$x > 10$ 거짓

단계 8.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 10 \leq x \leq 10$

단계 9

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 10, 10]$

조건제시법:

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

단계 10

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 8, 8]$

조건제시법:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

단계 11

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

치역: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

단계 12