기초 미적분 예제

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

단계 2

분수를 뺍니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ 에 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

단계 2.3.2

$\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ 에 $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 2.3.3

$(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 3.1.3

$- - \cos (θ)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 3.1.3.2

$\cos (θ)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 3.3

$0$ 를 $\cos (θ)$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 3.4

$\cos (θ)$ 를 $\cos (θ)$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

단계 5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

단계 6

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ 을 $2 \cot (θ) \csc (θ)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

단계 7

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ 은 항등식입니다