기초 미적분 예제

$y = 3 \sin (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \sin (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$3 \cos (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 3 (- \sin (x))$

단계 2.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 3 \sin (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$3 \cos (x) = 0$

단계 4

$3 \cos (x) = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$3 \cos (x) = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

단계 4.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{0}{3}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = 0$

단계 5

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 7

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 8

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 8.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 8.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 8.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 9

방정식 $x = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 10

$x = \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 3 \sin (\frac{π}{2})$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

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단계 11.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 3 \cdot 1$

단계 11.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3$

단계 12

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{2}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극대값입니다

단계 13

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1$

단계 13.2.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 3$

단계 13.2.3

최종 답은 $3$ 입니다.

$y = 3$

단계 14

$x = \frac{3 π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 15

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

단계 15.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

단계 15.3

$- 3 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 \cdot - 1$

단계 15.3.2

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 16

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{3 π}{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 17

$x = \frac{3 π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 17.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

단계 17.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

단계 17.2.3

$3 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot - 1$

단계 17.2.3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

단계 17.2.4

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$y = - 3$

단계 18

$f (x) = 3 \sin (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{2}, 3)$ 은 극댓값임

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ 은 극솟값임

단계 19