기초 미적분 예제

$y = - x^{2} - 10 x - 18$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = - y^{2} - 10 y - 18$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- y^{2} - 10 y - 18 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- y^{2} - 10 y - 18 = x$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$- y^{2} - 10 y - 18 - x = 0$

단계 2.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.4

이차함수의 근의 공식에 $a = - 1$ , $b = - 10$ , $c = - 18 - x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 18 - x))}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 10$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.4

$4$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.6

$100$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.7

$28 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.7.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.7.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.7.3

$4 (7) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.8

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.5.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

단계 2.5.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

단계 2.5.4

$\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

단계 2.5.5

$- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 을 $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

단계 2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$- 10$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.4

$4$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.6

$100$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.7

$28 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.7.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.7.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.7.3

$4 (7) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.8

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

단계 2.6.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

단계 2.6.4

$\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

단계 2.6.5

$- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 을 $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

단계 2.6.6

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = - (5 + \sqrt{7 - x})$

단계 2.6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - 1 \cdot 5 - \sqrt{7 - x}$

단계 2.6.8

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

단계 2.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

$- 10$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.4

$4$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.6

$100$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.7

$28 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.7.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.7.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.7.3

$4 (7) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.8

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

단계 2.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

단계 2.7.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

단계 2.7.4

$\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

단계 2.7.5

$- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 을 $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

단계 2.7.6

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = - (5 - \sqrt{7 - x})$

단계 2.7.7

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - 1 \cdot 5 + \sqrt{7 - x}$

단계 2.7.8

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

단계 2.7.9

$- - \sqrt{7 - x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - 5 + 1 \sqrt{7 - x}$

단계 2.7.9.2

$\sqrt{7 - x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

단계 2.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 가 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 및 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 4.2

$f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 7]$

단계 4.3

$- 5 - \sqrt{7 - x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{7 - x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$7 - x \geq 0$

단계 4.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

부등식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$- x \geq - 7$

단계 4.3.2.2

$- x \geq - 7$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$- x \geq - 7$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

단계 4.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

단계 4.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{- 7}{- 1}$

단계 4.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.3.1

$- 7$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \leq 7$

단계 4.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 7]$

단계 4.4

$f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4.5

$f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 의 정의역이 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 의 치역이 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ 은 $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$

단계 5