기초 미적분 예제

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6 = 0$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{3}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.5

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.8

$- 3 (\frac{9}{4})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.8.1

$- 3$ 와 $\frac{9}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.8.2

$- 3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

단계 4.1.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.10.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 6$

단계 4.1.10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 6$

단계 4.1.10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 6$

단계 4.1.11

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 6$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 6 + 6 + \frac{27 - 27}{4}$

단계 4.2.2

$27$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$- 6 + 6 + \frac{0}{4}$

단계 4.3

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 6$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 6}{1} + 6 + \frac{0}{4}$

단계 4.3.2

$\frac{- 6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

단계 4.3.3

$\frac{- 6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

단계 4.3.4

$6$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} + \frac{0}{4}$

단계 4.3.5

$\frac{6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

단계 4.3.6

$\frac{6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

단계 4.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 24 + 6 \cdot 4}{4}$

단계 4.5.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 24 + 24}{4}$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$- 24$ 를 $24$ 에 더합니다.

$\frac{0}{4}$

단계 4.6.2

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0$

단계 5

$\frac{3}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{3}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{3}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

	$2$

단계 6.3

제수 $(\frac{3}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(3)$ 을 피제수 $(- 3)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$	$0$

단계 6.5

제수 $(\frac{3}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(- 4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 4$

단계 6.7

제수 $(\frac{3}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 6)$ 을 피제수 $(6)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{2} + 0 x - 4$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$2 x^{2} - 4$

단계 7

$2 x^{2} - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 4)$

단계 7.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)$

단계 7.3

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 2))$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 6 = 0$

단계 8.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) = 0$

단계 8.2

최대공약수 $2 x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

단계 10

$2 x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2 x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 3 = 0$

단계 10.2

$2 x - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$2 x = 3$

단계 10.2.2

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 10.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 10.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{2}$

단계 11

$x^{2} - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x^{2} - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 = 0$

단계 11.2

$x^{2} - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 11.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 11.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 11.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 11.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 12

$(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

소수 형태:

$x = 1.5, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

대분수 형식:

$x = 1 \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 14