기초 미적분 예제

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.6

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.2.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ 입니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

단계 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.3.2.2

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{3})$ 입니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.3.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

단계 3.3.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

단계 3.3.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

단계 3.3.7

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

단계 3.3.8

$\frac{- 4}{2}$ 와 $\sin (4 x)$ 을 묶습니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

단계 3.3.9

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.9.1

$- 4 \sin (4 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

단계 3.3.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

단계 3.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

단계 3.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

단계 3.3.9.2.4

$- 2 \sin (4 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$