기초 미적분 예제

$x^{4} + 12 x^{3} + 31 x^{2} - 12 x - 32$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$12 x^{3} - 12 x + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

단계 2

$12 x^{3} - 12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$12 x^{3}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) - 12 x + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

단계 2.2

$- 12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

단계 2.3

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

단계 3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

단계 4

인수분해합니다.

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단계 4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$12 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

단계 4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

단계 5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 32$

단계 6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$12 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 31 u - 32$

단계 7

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 31 u - 32$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 32$ 이고 합은 $31$ 입니다.

$- 1, 32$

단계 7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$12 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 32)$

단계 8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 32)$

단계 9

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 32)$

단계 10

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$

단계 11

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.1

$12 x (x + 1) (x - 1)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x - 1) (12 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$

단계 11.2

$(x + 1) (x - 1) (12 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x - 1) (12 x + x^{2} + 32)$

단계 12

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x + 1) (x - 1) (12 u + u^{2} + 32)$

단계 13

AC 방법을 이용하여 $12 u + u^{2} + 32$ 를 인수분해합니다.

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단계 13.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $32$ 이고 합은 $12$ 입니다.

$4, 8$

단계 13.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 1) (x - 1) ((u + 4) (u + 8))$

단계 14

인수분해합니다.

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단계 14.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x + 1) (x - 1) ((x + 4) (x + 8))$

단계 14.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 1) (x - 1) (x + 4) (x + 8)$