기초 미적분 예제

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{x}{2 x - 1} - 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- 1$ 와 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 x - 1} + \frac{- (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - (2 x) - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2 x - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2 x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.3.4

$x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + 1}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.4.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.4.3

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.4.1

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.1.4.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

단계 2.2

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

단계 2.3

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 2.5

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 2.6

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

단계 2.7

해를 하나로 합합니다.

$x = 1, \frac{1}{2}$

단계 2.8

$\frac{x}{2 x - 1} - 1$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{2 x - 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 2.8.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 2.8.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.8.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.8.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 2.8.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

단계 2.9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

단계 2.10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

$x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1.1

$x < \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{0}{2 (0) - 1} - 1 \geq 0$

단계 2.10.1.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.10.2

$\frac{1}{2} < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.2.1

$\frac{1}{2} < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0.75$

단계 2.10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0.75$ 로 치환합니다.

$\frac{0.75}{2 (0.75) - 1} - 1 \geq 0$

단계 2.10.2.3

좌변 $0.5$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.10.3

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 2.10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{4}{2 (4) - 1} - 1 \geq 0$

단계 2.10.3.3

좌변 $- 0.\overline{428571}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.10.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < \frac{1}{2}$ 거짓

$\frac{1}{2} < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

$x < \frac{1}{2}$ 거짓

$\frac{1}{2} < x < 1$ 참

$x > 1$ 거짓

단계 2.11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$\frac{1}{2} < x \leq 1$

단계 3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{2 x - 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 4.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(\frac{1}{2}, 1]$

조건제시법:

${x | \frac{1}{2} < x \leq 1}$

단계 6