기초 미적분 예제

$f (x) = 7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 7$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{7}, \pm 7$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$7 {(- 7)}^{3} + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 7$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 7$ 를 $3$ 승 합니다.

$7 \cdot - 343 + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

단계 4.1.2

$7$ 에 $- 343$ 을 곱합니다.

$- 2401 + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

단계 4.1.3

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2401 + 51 \cdot 49 + 15 (- 7) + 7$

단계 4.1.4

$51$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$- 2401 + 2499 + 15 (- 7) + 7$

단계 4.1.5

$15$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 2401 + 2499 - 105 + 7$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 2401$ 를 $2499$ 에 더합니다.

$98 - 105 + 7$

단계 4.2.2

$98$ 에서 $105$ 을 뺍니다.

$- 7 + 7$

단계 4.2.3

$- 7$ 를 $7$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$- 7$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 7$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7}{x + 7}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$

단계 6.2

피제수 $(7)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$

	$7$

단계 6.3

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(7)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 49)$ 을 피제수 $(51)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$
	$7$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$
	$7$	$2$

단계 6.5

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 14)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$
	$7$	$2$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$
	$7$	$2$	$1$

단계 6.7

제수 $(- 7)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 7)$ 을 피제수 $(7)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$	$- 7$
	$7$	$2$	$1$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$	$- 7$
	$7$	$2$	$1$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$7 x^{2} + 2 x + 1$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

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단계 7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 7$ , $b = 2$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$- 4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.2.2

$- 28$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.3

$4$ 에서 $28$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.4

$- 24$ 을 $- 1 (24)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.7

$24$ 을 $2^{2} \cdot 6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.7.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

단계 7.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.2.1

$- 4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.2.2

$- 28$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.3

$4$ 에서 $28$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.4

$- 24$ 을 $- 1 (24)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.7

$24$ 을 $2^{2} \cdot 6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.7.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

단계 7.4.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

단계 7.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.4.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.4.6

$i \sqrt{6}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{6})}{7}$

단계 7.4.7

$- 1 (1) - (- i \sqrt{6})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{6})}{7}$

단계 7.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.2.1

$- 4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.2.2

$- 28$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.3

$4$ 에서 $28$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.4

$- 24$ 을 $- 1 (24)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.7

$24$ 을 $2^{2} \cdot 6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.7.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

단계 7.5.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

단계 7.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.5.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.5.6

$- i \sqrt{6}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{6})}{7}$

단계 7.5.7

$- 1 (1) - (i \sqrt{6})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{6})}{7}$

단계 7.5.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

단계 7.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}, - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x + 7) (x + \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}) (x + \frac{1 + i \sqrt{6}}{7})$

단계 9

다항식 $7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7$ 의 근(해)입니다.

$x = - 7, - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}, - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

단계 10