기초 미적분 예제

$f (x) = \sqrt{\frac{2 x}{x + 5} - 1}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\frac{2 x}{x + 5} - 1}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\frac{2 x}{x + 5} - 1 \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$\frac{2 x}{x + 5} - 1$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{x + 5} - 1 \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \geq 0$

단계 2.1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

$- 1$ 와 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{x + 5} + \frac{- (x + 5)}{x + 5} \geq 0$

단계 2.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x - (x + 5)}{x + 5} \geq 0$

단계 2.1.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x - x - 1 \cdot 5}{x + 5} \geq 0$

단계 2.1.3.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - x - 5}{x + 5} \geq 0$

단계 2.1.3.3

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x - 5}{x + 5} \geq 0$

단계 2.2

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 5 = 0$

$x + 5 = 0$

단계 2.3

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.4

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 2.5

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 5$

$x = - 5$

단계 2.6

해를 하나로 합합니다.

$x = 5, - 5$

단계 2.7

$\frac{2 x}{x + 5} - 1$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.7.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x}{x + 5}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 5 = 0$

단계 2.7.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 2.7.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

단계 2.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

단계 2.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 2.9.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.9.1.1

$x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 2.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$\frac{2 (- 8)}{(- 8) + 5} - 1 \geq 0$

단계 2.9.1.3

좌변 $4.\overline{3}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.9.2

$- 5 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.9.2.1

$- 5 < x < 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{2 (0)}{(0) + 5} - 1 \geq 0$

단계 2.9.2.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.9.3

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.9.3.1

$x > 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 2.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\frac{2 (8)}{(8) + 5} - 1 \geq 0$

단계 2.9.3.3

좌변 $0.\overline{230769}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < 5$ 거짓

$x > 5$ 참

$x < - 5$ 참

$- 5 < x < 5$ 거짓

$x > 5$ 참

단계 2.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 5$ 또는 $x \geq 5$

단계 3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x}{x + 5}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 5 = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 5) \cup [5, \infty)$

조건제시법:

${x | x < - 5, x \geq 5}$

단계 6