기초 미적분 예제

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \arctan (y + \frac{π}{2})$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$

단계 2.2

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y + \frac{π}{2} = \tan (x)$

단계 2.3

방정식의 양변에서 $\frac{π}{2}$ 를 뺍니다.

$y = \tan (x) - \frac{π}{2}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ 가 $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2}))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = \tan (\arctan (x + \frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

단계 4.2.3

탄젠트와 아크탄젠트 함수는 역함수 관계입니다.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

단계 4.2.4

$x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.4.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

단계 4.2.4.2

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

단계 4.2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.5.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + 0$

단계 4.2.5.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\tan (x) - \frac{π}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan ((\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

단계 4.3.3

$(\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.3.1

$- \frac{π}{2}$ 를 $\frac{π}{2}$ 에 더합니다.

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x) + 0)$

단계 4.3.3.2

$\tan (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x))$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ 은 $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$