기초 미적분 예제

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{6}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.2.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.2.3

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.3.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x^{3}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.4.3

$3$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.5.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{2}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.5.3

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.6.1

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

단계 1.6.2

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{5}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.2.3

$5$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{4}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.3.3

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 21$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 21 x^{2}$ 의 미분은 $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.4.3

$2$ 에 $- 21$ 을 곱합니다.

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

단계 2.5.3

$- 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$120$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $120 x^{4}$ 의 미분은 $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.2.3

$4$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $60 x^{3}$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.3.3

$3$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- 42 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 42$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 42 x$ 의 미분은 $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.4.3

$- 42$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

단계 3.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

$- 10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 10$ 입니다.

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

단계 3.5.2

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$