기초 미적분 예제

$y = \frac{2 x}{x - 3}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{2 y}{y - 3}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식에 $y - 3$ 을 곱합니다.

$(y - 3) (x) = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x - 3 x = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y x - 3 x = \frac{2 y}{y - 3} (y - 3)$

단계 2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y x - 3 x = 2 y$

단계 2.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$y x - 3 x - 2 y = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3 x$ 를 더합니다.

$y x - 2 y = 3 x$

단계 2.4.3

$y x - 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - 2 y = 3 x$

단계 2.4.3.2

$- 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 2 = 3 x$

단계 2.4.3.3

$y (x) + y \cdot - 2$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 2) = 3 x$

단계 2.4.4

$y (x - 2) = 3 x$ 의 각 항을 $x - 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$y (x - 2) = 3 x$ 의 각 항을 $x - 2$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

단계 2.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

단계 2.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{3 x}{x - 2}$

단계 3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ 가 $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 3})}{(\frac{2 x}{x - 3}) - 2}$

단계 4.2.3

$3$ 와 $\frac{2 x}{x - 3}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2}$

단계 4.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

단계 4.2.4.2

$- 2$ 와 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 2 (x - 3)}{x - 3}}$

단계 4.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

단계 4.2.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.4.1

$2 x - 2 (x - 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.4.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

단계 4.2.4.4.1.2

$- 2 (x - 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 3))}{x - 3}}$

단계 4.2.4.4.1.3

$2 (x) + 2 (- (x - 3))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - (x - 3))}{x - 3}}$

단계 4.2.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

단계 4.2.4.4.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

단계 4.2.4.4.4

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{x - 3}}$

단계 4.2.4.4.5

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{x - 3}}$

단계 4.2.4.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

단계 4.2.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

단계 4.2.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

단계 4.2.7

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

$6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

단계 4.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

단계 4.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

단계 4.2.8

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

단계 4.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{3 x}{x - 2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{x - 2})}{(\frac{3 x}{x - 2}) - 3}$

단계 4.3.3

$2$ 와 $\frac{3 x}{x - 2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

단계 4.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

단계 4.3.4.2

$- 3$ 와 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

단계 4.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

단계 4.3.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.4.1

$3 x - 3 (x - 2)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.4.1.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

단계 4.3.4.4.1.2

$- 3 (x - 2)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

단계 4.3.4.4.1.3

$3 (x) + 3 (- (x - 2))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

단계 4.3.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

단계 4.3.4.4.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

단계 4.3.4.4.4

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

단계 4.3.4.4.5

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

단계 4.3.4.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

단계 4.3.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

단계 4.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

단계 4.3.7

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

단계 4.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

단계 4.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

단계 4.3.8

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

단계 4.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ 은 $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$