기초 미적분 예제

$\frac{x + 2}{x - 3}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y + 2}{y - 3}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식에 $y - 3$ 을 곱합니다.

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x - 3 x = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y x - 3 x = \frac{y + 2}{y - 3} (y - 3)$

단계 2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y x - 3 x = y + 2$

단계 2.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$y x - 3 x - y = 2$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3 x$ 를 더합니다.

$y x - y = 2 + 3 x$

단계 2.4.3

$y x - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - y = 2 + 3 x$

단계 2.4.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 3 x$

단계 2.4.3.3

$y (x) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 1) = 2 + 3 x$

단계 2.4.4

$y (x - 1) = 2 + 3 x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$y (x - 1) = 2 + 3 x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

단계 2.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ 가 $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{(\frac{x + 2}{x - 3}) - 1}$

단계 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$\frac{2 + 3 \frac{x + 2}{x - 3}}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$

단계 4.2.3.2

조합합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3} - 1)}$

단계 4.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.5

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 2}{x - 3}$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1.1

$(x - 3) \cdot 2$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2) + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.1.2

$(x - 3) (2) + (x - 3) (3 \frac{x + 2}{x - 3})$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.2

$3$ 와 $\frac{x + 2}{x - 3}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.5

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.6

인수분해된 형태로 $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.6.4

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.6.5

$3 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 6 - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.6.6

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 0}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.6.6.7

$5 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

단계 4.2.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

단계 4.2.7.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

단계 4.2.7.3

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x + 3}$

단계 4.2.7.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - x + 3}$

단계 4.2.7.5

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{0 + 2 + 3}$

단계 4.2.7.6

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{2 + 3}$

단계 4.2.7.7

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{5}$

단계 4.2.8

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

$\frac{(x - 3) \frac{5 x}{x - 3}}{5}$ 에서 $\frac{5 x}{x - 3}$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

단계 4.2.8.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.2.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

단계 4.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

단계 4.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

단계 4.2.8.3

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.3.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

단계 4.2.8.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{2 + 3 x}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

단계 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$

단계 4.3.3.2

조합합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

단계 4.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.5

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.5.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.5.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.4

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x + 0}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.5

$3 x + 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.6.6

$3 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

단계 4.3.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

단계 4.3.7.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

단계 4.3.7.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

단계 4.3.7.4

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 x - 3 x + 5}$

단계 4.3.7.5

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

단계 4.3.7.6

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

단계 4.3.8

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

단계 4.3.8.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ 은 $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$