기초 미적분 예제

$y^{2} = 1 - 3 x^{2}$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에 $3 x^{2}$ 를 더합니다.

$y^{2} + 3 x^{2} = 1$

단계 1.1.2

$y^{2}$ 와 $3 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + y^{2} = 1$

단계 1.2

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{3}} + y^{2} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 1$

$b = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

단계 5.3.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

단계 5.3.4

$3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

단계 5.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

단계 5.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

단계 5.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

단계 5.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

단계 5.3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

단계 5.3.5.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

단계 5.3.6

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

단계 5.3.7

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 5.3.8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 5.3.8.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 5.3.8.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 5.3.8.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 5.3.8.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 5.3.8.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.8.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.8.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.8.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.8.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 5.3.8.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

단계 5.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.9.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

단계 5.3.9.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + 1)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(0, 1)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (1))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(0, - 1)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{6}}{3})$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{6}}{3}))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}}{1}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

단계 8.3.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

단계 8.3.1.3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

단계 8.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

단계 8.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

단계 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

단계 8.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

단계 8.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

단계 8.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

단계 8.3.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

단계 8.3.4

$3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

단계 8.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

단계 8.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

단계 8.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

단계 8.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.5.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

단계 8.3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

단계 8.3.5.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

단계 8.3.6

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.7

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 8.3.8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.8.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 8.3.8.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 8.3.8.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 8.3.8.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 8.3.8.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 8.3.8.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.3.8.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.3.8.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.8.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.8.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.8.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 8.3.8.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

단계 8.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.9.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

단계 8.3.9.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

이심률: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

단계 10