기초 미적분 예제

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 3$

$b = 4 \sqrt{3}$

$k = - 4$

$h = - 5$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 5, - 4)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$4 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3}$

단계 5.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\sqrt{9 + 48}$

단계 5.3.3.2

$9$ 를 $48$ 에 더합니다.

$\sqrt{57}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 2, - 4)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $h$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - a, k)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 8, - 4)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h \pm a, k)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

단계 8.3.2

$4 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

단계 8.3.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

단계 8.3.4

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

단계 8.3.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

단계 8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

단계 8.3.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

단계 8.3.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}}{3}$

단계 8.3.4.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3}}{3}$

단계 8.3.5

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 48}}{3}$

단계 8.3.6

$9$ 를 $48$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{57}}{3}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{57}}$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \cdot 3^{1}}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.1.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{4 \cdot 3}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.3

$\frac{12}{\sqrt{57}}$ 에 $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{\sqrt{57}} \cdot \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$

단계 9.3.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.1

$\frac{12}{\sqrt{57}}$ 에 $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ 을 곱합니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{\sqrt{57} \sqrt{57}}$

단계 9.3.4.2

$\sqrt{57}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57}}$

단계 9.3.4.3

$\sqrt{57}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1}}$

단계 9.3.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1 + 1}}$

단계 9.3.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{2}}$

단계 9.3.4.6

${\sqrt{57}}^{2}$ 을 $57$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{57}$ 을(를) $57^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.3.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.3.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.3.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{1}}$

단계 9.3.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57}$

단계 9.3.5

$12$ 및 $57$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.5.1

$12 \sqrt{57}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{57}$

단계 9.3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.5.2.1

$57$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 (19)}$

단계 9.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 \cdot 19}$

단계 9.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

단계 10

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

단계 11

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

단계 11.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

단계 11.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

단계 11.2.3

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

단계 11.2.4

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 5}{3} - 4$

단계 11.2.4.2

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

단계 12

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

단계 12.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

단계 12.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

단계 12.2.3

$x$ 와 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

단계 12.2.4

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.4.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - 5 \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 4$

단계 12.2.4.2

$- 5$ 와 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 5 (4 \sqrt{3})}{3} - 4$

단계 12.2.4.3

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

단계 12.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = - \frac{4 \cdot x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

단계 12.2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4, y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 5, - 4)$

꼭짓점: $(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

초점: $(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

이심률: $\frac{\sqrt{57}}{3}$

초점 변수: $\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

점근선: $y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$ , $y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

단계 15