기초 미적분 예제

$9 x^{2} + y^{2} = 81$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을 $81$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{9 x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

단계 1.2

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 9$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{81 - {(3)}^{2}}$

단계 5.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{81 - 1 \cdot 9}$

단계 5.3.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\sqrt{81 - 9}$

단계 5.3.4

$81$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\sqrt{72}$

단계 5.3.5

$72$ 을 $6^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$72$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{36 (2)}$

단계 5.3.5.2

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{6^{2} \cdot 2}$

단계 5.3.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$6 \sqrt{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + 9)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(0, 9)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (9))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(0, - 9)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + 6 \sqrt{2})$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(0, 6 \sqrt{2})$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (6 \sqrt{2}))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(0, - 6 \sqrt{2})$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

단계 8.3.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

단계 8.3.1.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

단계 8.3.1.4

$81$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

단계 8.3.1.5

$72$ 을 $6^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.5.1

$72$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

단계 8.3.1.5.2

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

단계 8.3.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

단계 8.3.2

$6$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$6 \sqrt{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

단계 8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

이심률: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

단계 10