기초 미적분 예제

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(2 k - 3)}^{2}$ 을 $(2 k - 3) (2 k - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 k - 3) (2 k - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.2

지수를 더하여 $k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.1

$k$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.2.2

$k$ 에 $k$ 을 곱합니다.

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.4

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.5

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.6

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

단계 1.3.2

$- 6 k$ 에서 $6 k$ 을 뺍니다.

$4 k^{2} - 12 k + 9$

단계 1.4

합을 다시 씁니다.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

단계 2

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

단계 3

$4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 3.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$200$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

단계 3.3.1.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$200$ 에 $201$ 을 곱합니다.

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

단계 3.3.1.2.2

$2$ 에 $200$ 을 곱합니다.

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

단계 3.3.1.3

$400$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

단계 3.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$40200$ 에 $401$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{16120200}{6})$

단계 3.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

단계 3.3.2.2.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{16120200}{3})$

단계 3.3.2.3

$2$ 와 $\frac{16120200}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

단계 3.3.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

$2$ 에 $16120200$ 을 곱합니다.

$\frac{32240400}{3}$

단계 3.3.2.4.2

$32240400$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$10746800$

단계 4

$12 \sum_{k = 1}^{200} k$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 4.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$200$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

단계 4.3.1.2

$200$ 에 $201$ 을 곱합니다.

$- 12 (\frac{40200}{2})$

단계 4.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

단계 4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

단계 4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 6 \cdot 40200$

단계 4.3.3

$- 6$ 에 $40200$ 을 곱합니다.

$- 241200$

단계 5

$\sum_{k = 1}^{200} 9$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 5.2

공식에 값을 대입합니다.

$(9) (200)$

단계 5.3

$9$ 에 $200$ 을 곱합니다.

$1800$

단계 6

합계 결과를 더합니다.

$10746800 - 241200 + 1800$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$10746800$ 에서 $241200$ 을 뺍니다.

$10505600 + 1800$

단계 7.2

$10505600$ 를 $1800$ 에 더합니다.

$10507400$