기초 미적분 예제

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

단계 1

공식 $\frac{a}{1 - r}$ 을 사용하여 무한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{k}$ , $a_{k + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2.2

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ 및 ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ 에서 ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

단계 2.2.2.2.4

${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

단계 2.2.3

$k$ 를 $0$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

단계 2.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

단계 2.2.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

단계 2.2.5

$k$ 에서 $k$ 을 뺍니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

단계 2.2.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$r = \frac{2}{3}$

단계 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

단계 4

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$k$ 의 $1$ 을 $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 에 대입합니다.

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

단계 4.2.2

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

단계 4.2.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

단계 4.2.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

단계 4.2.5

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$a = 3 \cdot 1$

단계 4.2.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a = 3$

단계 5

비율과 첫 번째 항의 값을 합 공식에 대입합니다.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

단계 6.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

단계 6.1.3

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

단계 6.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$3 \cdot 3$

단계 6.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9$