기초 미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(2 + x)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(2 + 0)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

${(2 + x)}^{2}$ 을 $(2 + x) (2 + x)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 + x) (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 + x) (2 + x)$ 를 전개합니다.

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단계 1.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (2 + x) + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.1.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

합의 법칙에 의해 $4 + 4 x + x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.7

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.7.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.7.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.9

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.10

간단히 합니다.

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단계 1.3.10.1

항을 묶습니다.

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단계 1.3.10.1.1

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.10.1.2

$4 + 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.10.2

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{1}$

단계 1.4

$2 x + 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 2 x + 4$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 4$

단계 2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

단계 2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$2 lim_{x \to 0} x + 4$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cdot 0 + 4$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 4$

단계 4.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4$