기초 미적분 예제

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.1.2

$x$ 가 $7$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.1.3

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.1.4

$x$ 가 $7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.1.5

$x$ 가 $7$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.3.1.2

$7$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.3.1.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.3.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.3.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.2.3.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

단계 1.1.3.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

단계 1.1.3.1.3

$x$ 가 $7$ 에 가까워질 때 상수값 $49$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

단계 1.1.3.3.1.2

$- 1$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{49 - 49}$

단계 1.1.3.3.2

$49$ 에서 $49$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $2 - \sqrt{x - 3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x - 3}$ 을(를) ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.3.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.4

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.12

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.13

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.14

$\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.4.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.5

$0$ 에서 $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

단계 1.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

단계 1.3.8

$- 49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 49$ 입니다.

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

단계 1.3.9

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

단계 1.5

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x - 3}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

단계 1.6

인수끼리 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$\frac{1}{2 x}$ 에 $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

단계 1.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

단계 2.2

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

단계 2.3

$x$ 가 $7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

단계 2.4

$x$ 가 $7$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

단계 2.5

$x$ 가 $7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

단계 2.6

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

단계 2.7

$x$ 가 $7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

단계 2.8

$x$ 가 $7$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $7$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 $7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

단계 3.2

$x$ 에 $7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

단계 4.1.2

$7$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

단계 4.1.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

단계 4.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

단계 4.2

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

단계 4.3

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\frac{1}{14}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

단계 4.3.2

$14$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{56}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{56}$

소수 형태:

$- 0.01785714 \dots$